傅里叶复指数展开演示

"波是圆的投影" — 欧拉公式的几何意义可视化

傅里叶级数的复指数形式：周期信号可以用复指数函数 ejnω₀t 的线性组合表示，其中 n 为谐波次数。复指数形式相比三角函数形式更加紧凑和对称，便于工程计算和理论推导，是数字信号处理中离散傅里叶变换（DFT）的理论基础。
每一个旋转的圆对应一个复指数项 cₙeinω₀t。所有圆的端点叠加形成轨迹，其实部投影就是时域波形——这便是欧拉公式 eiθ = cosθ + isinθ 的几何意义。

控制面板

信号选择

谐波控制

动画控制

显示选项

傅里叶系数 cₙ

复平面 — 旋转向量叠加

虚部投影 — Im[f(t)]

实部投影 — Re[f(t)]

数学表达式

复指数展开式：
f(t) = Σ cₙe^(inω₀t)
实部投影：
Re[f(t)] = Σ |cₙ|cos(nω₀t + arg(cₙ))
虚部投影：
Im[f(t)] = Σ |cₙ|sin(nω₀t + arg(cₙ))

自定义绘图区（绘制封闭图形或选择预设）

复指数形式的优美之处在于它将正弦和余弦统一为一个简洁的数学表达。这种追求简洁与统一的思想，在中国古代哲学中也有体现——老子说"道生一，一生二，二生三，三生万物"，正是用最简单的原理解释最复杂的现象。科学与哲学在"以简驭繁"这一点上殊途同归。